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前言01背包问题完全背包问题多重背包问题分组背包问题前言
背包问题:给我们 i 件物品,每件物品都有体积 vi 和权重 wi ,给我们限制条件,让我们选择在背包的容量内,物品达到权重最大
01背包问题
01背包问题描述:每件物品只可以使用一次
我们看一下题目长什么样:
#include <iostream>using namespace std;const int N = 1010;int v[N], w[N];int f[N][N];//f(i, j)表示体积j的情况下,前i件物品的最大价值int main(){int n, m;cin >> n >>m;for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d%d", &v[i], &w[i]);for(int i = 1; i <= n; i++){for(int j = 1; j <= m; j++){//第 i个物品先不选f[i][j] = f[i - 1][j];//第 i个物品选:首先要满足第 i个物品能放进来!能装第i个物品,需要决策是否装第i个物品if(j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);}}cout << f[n][m] << endl;return 0;}
到这里,我们上面实现的是二维状态方程,我们如何进行优化呢,题目中只要我们计算 f[n][m],而其他的没有要求我们进行计算
注意:这里的 j 必须从大到小来枚举,若j从小到大,f[j-v[i]]中,由于j-v[i]小于j,f[j-v[i]]已经在i这层循环被计算了,而我们想要的f[j-v[i]]应该是i-1层循环里面的,所以j从大到小的话保证此时的f[j-v[i]]还未被计算,也就是第i-1层的数据
#include <iostream>using namespace std;const int N = 1010;int v[N], w[N];int f[N];int main(){int n, m;cin >> n >> m;for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d%d", &v[i], &w[i]);for(int i = 1; i <= n; i++)for(int j = m; j >= v[i]; j--)f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);cout << f[m] << endl;return 0;}
完全背包问题
完全背包问题:每个物品可以无限次使用
#include <iostream>using namespace std;const int N = 1010;int v[N], w[N];int f[N][N];int main(){int n, m;cin >> n >> m;for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d%d", &v[i], &w[i]);for(int i = 1; i <= n; i++)for(int j = 1; j <= m; j++){for(int k = 0; k * v[i] <= j; k++){f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i]);}}cout << f[n][m] << endl;return 0;}
显然,上面有三层循环,效率很慢很慢,数据有可能过不了;我们来看看有什么可以优化的地方;
#include <iostream>using namespace std;const int N = 1010;int v[N], w[N];int f[N][N];int main(){int n, m;cin >> n >> m;for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d%d", &v[i], &w[i]);for(int i = 1; i <= n; i++)for(int j = 1; j <= m; j++){f[i][j] = f[i - 1][j];if(j - v[i] >= 0) f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i][j - v[i]] + w[i]);}cout << f[n][m] << endl;return 0;}
将上述代码更上一层口,使用一维状态方程
#include <iostream>using namespace std;const int N = 1010;int v[N], w[N];int f[N];int main(){int n, m;cin >> n >> m;for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d%d", &v[i], &w[i]);for(int i = 1; i <= n; i++)for(int j = v[i]; j <= m; j++){f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);}cout << f[m] << endl;return 0;}
多重背包问题
多重背包问题会在完全背包问题上加一个限制,每个背包不是无限次使用,而是有个数限制
例题:
#include <iostream>using namespace std;const int N = 110;int n, m;int v[N], w[N], s[N];int f[N][N];int main(){cin >> n >> m;for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d%d%d", &v[i], &w[i], &s[i]);for(int i = 1; i <= n; i++)for(int j = 1; j <= m; j++)for(int k = 0; k <= s[i] && k * v[i] <= j; k++)f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i]);cout << f[n][m] << endl;return 0;}
分组背包问题
分组背包问题:把所有物品分到各个组里面,每个组里面只可以选一件物品;
例题:
#include <iostream>using namespace std;const int N = 110;int n, m;int v[N][N], w[N][N], s[N];int f[N][N];int main(){cin >> n >> m;for(int i = 1; i <= n; i++){cin >> s[i];for(int j = 1; j <= s[i]; j++){cin >> v[i][j] >> w[i][j];}}for(int i = 1; i <= n; i++){for(int j = 1; j <= m; j++){f[i][j] = f[i - 1][j];//不选第i个物品for(int k = 0; k <= s[i]; k++){if(j >= v[i][k]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i][k]] + w[i][k]);//选第i个物品}}}cout << f[n][m] << endl;return 0;}
我们将它优化成一维状态方程:
#include <iostream>using namespace std;const int N = 110;int n, m;int v[N][N], w[N][N], s[N];int f[N];int main(){cin >> n >> m;for(int i = 1; i <= n; i++){cin >> s[i];for(int j = 1; j <= s[i]; j++){cin >> v[i][j] >> w[i][j];}}for(int i = 1; i <= n; i++){for(int j = m; j >= 1; j--){for(int k = 0; k <= s[i]; k++){if(j >= v[i][k]) f[j] = max(f[j], f[j - v[i][k]] + w[i][k]);}}}cout << f[m] << endl;return 0;}
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